次商二秒。

将初商八十秒加倍，得一分六十秒。

加次商二秒，得一分六十二秒，乘以上廉一万四千八百二十三度零六二五，得二百四十度一三三六一二五，再用益从方减此数，余一百八十万四千四百六十七度七二五七六二五，就是从方。

又将初商和次商八十二秒自乘，得六十七微。

加上初商八十秒自乘之数，得一秒三十一微，用下廉减此敷，余二百四十三度四九九八六九。

乘以前面所得到的一分六十二秒，得三度九十四分四六九七八七七八，就是从廉。

将从廉和从方相加，得一百八十万四千四百七十一度六十七分零四六零三七七八，就是下法。

将下法乘以次商，得三百六十度八九四三三四零九二零七五五六，用余实减此敷，还余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。

不足一秒舍弃不用，以下同。

求得矢的度数共八十二秒，剩余部分继续用上列方法计算。

求得矢的度数，作为黄道赤道相求及求二者内外度的根。

数据详见后文。

求黄道各度之下赤道度数的方法。

将天圆的半径减去黄道矢的度数，余数焉黄道赤道的小弦。

将黄道赤道的小弦，乘以黄道赤道的大股大股见弧矢割圆作为被除数。

黄道赤道的大弦天圆半径作为除数。

两数相除，就是黄道赤道的小股。

将黄道的矢自乘作为被除数，以天圆的直径作为除数，两数相除，就是黄道半背弦差。

用黄道积度即黄道半弧背减这个差，余数就是黄道半弧弦。

将黄道半弧弦自乘作为股的幂，黄道赤道小股自乘作为勾的幂，两个幂相加，开平方，就是赤道小弦。

将黄道的半弧弦，乘以天圆的半径也是赤道大弦作为被除数，以赤遒小弦作为除数与之相除，就是赤道的半弧弦。

将黄道赤道的小股，也是赤道的横小勾。

用赤道大弦即半径相乘作为被除数，以赤道小弦作为除数与之相除，就是赤道横大勾，再用半径减赤道横大勾，余数就是赤道横弧矢。

将横弧矢自乘作为被除数，以直径作为除数与之相除，就是赤道的半背弦差。

以半背弦差加赤道半弧弦，就是赤道的度数。

如黄道半弧背为一度，求赤道的度数。

方法是：将半径六十度八十七分五十秒，即黄道赤道大弦。

黄道的矢八十二秒，余六十度八六六八，就是黄道赤道小弦。

将黄道赤道小弦，乘以黄道赤道大股五十六度零二六八，得三千四百一十度一七二零三零二四作为被除数，以黄道赤道大弦六十度八七五作为除数，两敷相除，得五十六度零一分九十二秒，就是黄道赤道的小股。

又是赤道小勾。

将矢的度数八十二秒自乘，得六十七微，以天圆直径一百二十一度七五作为除数，舆之相除得五十五纤，就是黄道半背弦差。

将黄道半弧背一度，减黄道半背弦差，余数就是半弧弦。

因半背弦差在一微以下，所以不减，就用一度作为半弧弦。

将黄道半弧弦一度自乘，得一度作为股的幂。

黄道赤道小股五十六度零一九二自乘，得三千一百三十八度一五零七六八六四作为勾的幂。

两个幂相加得三千一百三十九度一五零七六八六四焉弦实，开平方，得五十六度零二八一，就是赤道小弦。

将赤道半弧弦一度，乘以天圆半径，即赤道大弦。

得六十度八七五作为被除数，以赤道小弦五十六度零二八一作为除敷相除，得一度零八分六十五秒，就是赤道的半弧弦。

将黄道赤道的小股五十六度零一九二，又是赤道小勾。

乘以赤道大弦天圆半径六十度八七五，得三千四百一十度一六八八作为被除数，以赤道小弦作为除数相除，得六十度八十六分五十三秒，就是赤道横大勾。

将天圆半径六十度八十七分五十秒，减赤道大勾六十度八十六分五十三秒，余九十七秒，就是赤道横弧矢。

将赤道横弧矢九十七秒自乘，得九十四微零九，再以天圆直径作除数舆之相除，得七十七纤，就是赤道背弦差。

将赤道半弧弦一度零八分六十五秒，加赤道背弦差，就是赤道的度数。

现在赤道背弦差在一微以下，舍弃不加，就用半弧弦作为度数。

共求得赤道度数为一度零八分六十五秒。

其余度数各自用上面的方法，求到各黄道度数下的赤道度数，两敷相减，就得到黄道赤道差，这是冬至夏至后的比率。

春分秋分以后，以赤道度数求黄道，反过来相求，数据都相同。

按郭守敬创立的新方法有五条，其中一条是黄道赤道差，这就是它的数据。

旧方法用一百零一度相减相乘。

授时历创立新方法，用勾股、弧矢、方圆、斜直所包含的内容，推求黄道赤道的差敷，合乎天象的原理，比古代更严密。

只是至元历经的记载很筒略，又误以黄道矢度为积差，黄道矢差为差率，现在予以纠正。

凡是圆周从中间剖开，就成了半圆。

任意切分半圆的一部分，就成了弧矢形，都有弧背，有弧弦，有矢。

切分出弧矢形的一半，就有半弧背，有半弧弦，有矢。

因为弦和矢就生出勾股形，以半弧弦焉勾，半径减矢的余数为股，半径为弦。

勾股内又形成小勾股，就有小勾、小股、小弦，而大小可以互相推求，平侧可以互相利用，圆周的道理，这就很切近了。

平线是赤道，斜线是黄道。

因为冬至夏至黄道赤道的距离，生出大勾股。

因为各度黄道赤道的距离，生出小勾股。

外面的大圆是赤道。

从北极俯视，黄道在赤道之内，有赤道的各度，就有各度的半弧弦，以此生出大勾股。

又各有舆它们相应的黄道半弧弦，以此生出小勾股。

这二者可以互相推求。

按旧史书没有图，然而表也是和圆同类的。

现在勾股割圆弧矢的方法，实在是历算家测算的根本。

没有图不能说明问题，因而保留其重要的几幅。

推算黄道各度距离赤道的内外度数及距离北极远近的方法。

将天圆半径减去赤道小弦，余敷就是赤道两个弦的差。

又是黄道赤道小弧的矢，又是内外矢，又是股弦差。

将半径减去黄道矢的度数，余数就是黄道赤道的小弦。

将冬至夏至黄道赤道内外半弧弦舆黄道赤道小弦相乘作为被除数，以黄道赤道大弦作为除数，即半径。

舆之相除就是黄道赤道小弧弦。

就是黄道赤道内外半弧弦，又是黄道赤道小勾。

将黄道赤道小弧矢自乘，即赤道两弦的差。

除以直径，就是半背弦差。

用这个差加黄道赤道小弧弦就是黄道赤道小弧半背，也就是黄道在赤道内外的度数。

根据黄道在赤道内外的度数，如果在盈初缩末象限表内就加，在缩初盈末象限表内就减，都加减象限表内的度数，就得到太阳距离北极的度数。

如冬至后黄道四十四度，求太阳距离赤道内外的度数及距离北极的度数。

方法是：将天圆半径六十度八十七分半，减黄道四十四度时赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，余二度五十一分八十一秒，就是黄道赤道小弧矢。

即内外矢。

将半径六十度八七分半，减黄道四十四度时的矢一十六度五十六分八十二秒，余四十四度三十分六十八秒，就是黄道赤道小弦。

将黄道赤道小弦，用冬至夏至时黄道赤道内外半弧弦二十三度七十一分舆之相乘，得一千零五十度五十一分四二三八作为被除数，以黄道赤道大弦六十度八七五作为除数舆之相除，得十七度二十五分六十九秒，即黄道赤道小弧弦。

即内外半弧弦。

将黄道赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自乘作为被除数，用直径一百二十一度七十五分与之相除，得五分二十一秒就是背弦差。

用背弦差加黄道赤道小弧弦十七度二十五分六十九秒，得十七度三十分八十九秒，就是冬至夏至前后黄道四十四度时，太阳距离赤道的内外度。

将象限九十一度三十一分四十三秒七五，加内外度十七度三零八九，得一百零八度六十二分三十二秒七五，就是冬至后黄道四十四度时太阳距离北极的度数。

推算白道和赤道的降交点距离黄道赤道降交点的最大数值。

方法是：将寅测到的白道出入黄道内外的六度作为半弧弦，又是大圆的弦矢，又是股和弦的差。

将半径六十度八七五自乘，得三干七百零五度七六五六二五，用矢六度与之相除，得六百一十七度六十三分为股弦的和，再加矢六度，共六百二十三度六十三分，就是大圆直径。

按法则求得容阔五度七十分，又是小勾。

又以冬至夏至时出入半弧弦二十三度七十一分作为大勾。

以大勾作除数，除大股五十六度零六分五十秒，得二度三十七分就整敷而言为度差。

以度差乘小勾，得小股十三度四十七分八十二秒，就是容半长。

以半径六十度八七五焉大弦，乘以小勾五度七十分作为被除数，以大勾二十三度七十一分焉除数舆之相除，得十四度六十三分就是小弦；又是白道赤道降交点距离黄道赤道降交点的半弧弦。

按法则求得半弧背十四度六十六贫，就是白道赤道降交点距离黄道赤道降交点的最大敷值。